第 202 章 二项式定理之实例深究
数日已过，戴浩文于讲堂之上，再论二项式定理之妙处。其身着素袍，手持戒尺，目光炯炯，环视诸生。
言曰：“前番已授汝等二项式定理之要义，今当以实例详析，以增汝等之领悟。”
遂于黑板书一题：“今有一商人，欲购货物，其价依二项式(a + b)^n 而定，其中 a 为原价，b 为涨幅，n 为购货之次数。若原价为十金，涨幅为三金，购货三次，试求其总价几何？”
诸生见此题，皆低头沉思，奋笔疾算。
少顷，一生起身答曰：“先生，依二项式定理展开，可得总价为 a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 ，代入数值，即为 10^3 + 3×10^2×3 + 3×10×3^2 + 3^3 = 1000 + 900 + 270 + 27 = 2197 金。”
戴浩文微微颔首，曰：“善。然此仅为其一例，再观此题。”
又书一题：“某工匠制器，其成功率为(a + b)^n ，其中 a 为成功之概率，b 为失败之概率，n 为制器之数。若成功概率为半，制器五次，求至少成功三次之概率。”
诸生闻此，交头接耳，讨论纷纷。
一聪慧之生言道：“先生，此当用二项式定理分别算出成功三次、四次、五次之概率，再相加可得。”
戴浩文笑曰：“然也。汝等速速计算。”
诸生遂埋头苦算，良久，得数而出。
戴浩文曰：“善哉。今再看此例。”
复书一题：“一军出征，其胜败之数依二项式而定。若胜之概率为七成，出战八次，求胜五次之概率及期望之胜数。”
诸生观此题，难度更甚，然未有退缩之意，皆全力思索。
一学子率先算出：“先生，胜五次之概率为 C(8, 5)×0.7^5×0.3^3 ，期望之胜数为 8×0.7 = 5.6 。”
戴浩文抚须赞曰：“妙极！由此可见，二项式定理于此类问题之解决，功莫大焉。”
又道：“且看此题。古之农田，稻麦之收成因年而异，其丰收之率若以二项式表之。设初年均收为百石，丰年增率为二成，灾年减率为一成，历经十载，试算总收之数。”
众学子绞尽脑汁，推演算式。
有一生答曰：“先生，依理展开计算，可得总收约为千五百石。”
戴浩文曰：“差强人意。当更细心思之。”
继而再出一题：“昔有巧匠造楼，其进度依二项式行之。若初始每日建十丈，速增之率为半成，工期三十日，问终成之高几何？”
诸生苦思冥想，终得答案。
戴浩文曰：“汝等可知，二项式定理于天文历法、水利工程，亦多有用处。如测星辰之轨迹，算河水流速，皆可依此理推之。”
遂又举例详解，诸生如痴如醉，沉浸其中。
时近黄昏，课尚未尽。戴浩文曰：“今日所讲，汝等课后当反复思索，多加练习。明日继续。”
诸生皆行礼告退，心内满是对二项式定理之新悟。
次日，戴浩文复至讲堂，又出数例。
“有商队行于途，其获利之数若以二项式计。每程利为不定，设初利为五金，或增或减，经十程，求总利之可能范围。”
学子们纷纷动笔，各抒己见。
一生言：“先生，当考虑各种增减之组合，算其极值可得范围。”
戴浩文点头称是，继续出题。
“某城人口增减，若以二项式度之。初有人口万余，年增或减之率既定，经五年，算其可能之人口数。”
诸生热烈讨论，互相比对答案。
戴浩文时而点拨，时而赞扬，课堂气氛热烈非凡。
“再观此例。古之织造，布帛之产量若以二项式推之。机杼之数有限，工效有差，经月余，求其总产量之概数。”
学子们渐入佳境，应答如流。
如此数日，戴浩文以种种实例，令学子们对二项式定理之运用愈发娴熟。
或有一题：“园林之植木，其成长之况若依二项式。初苗之高已定，年增之高有别，历数载，求其可成之材数。”
众学子深思熟虑，答案各异，然皆有理有据。
戴浩文一一评点，使众人皆有所获。
又有：“工匠造器之精粗，以二项式测之。初质已定，工序增减其质，经数道，求其成品之优率。”
学子们争论不休，各执一词，最终在戴浩文的引导下，得出正解。
时光荏苒，学子们于二项式定理之实例探究中，功力日进。
一日，戴浩文集诸生于庭中，出一难题：“今有宝库一座，藏珍若干。开库之匙密码依二项式设之，已知其式之参数，试求开库之法。”
众学子围坐，共同商讨，历经多时，终得解法。
戴浩文大笑曰：“汝等聪慧过人，已通此理。然学无止境，尚需砥砺前行。”
此后，学子们运用二项式定理，解决诸多难题，声名远播。
戴浩文之教诲，如明灯照亮学子前行之路，使其在数学之海洋中畅游无阻。
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