最后，文章中的数学定义和定理，从某种意义上，是我们为论证而搜集的证据。借助这些定理，读者可以更好地把握概念间的关系，大致看出当今集合论发展的脉络，从而体会出其中的哲学意蕴。郝兆宽.杨跃柏拉图主义与集合论终极宇宙。
1独立性现象与数学真理
集合论中充满了独立性现象。在这些现象背后的是有关集合论真理的哲学问题，即:
一个集合论语言中的语句σ是真的，这是什么意思
有一派观点认为σ是真的当且仅当。在ZFC中可证。
我的感觉是，除了那些一致性命题，ZFC穷尽了我们的直观，所以，证明意味着在ZFC内证明。([7]，第3页)
而这就意味着那些独立于ZFC的语句没有真假可言。
这是一个有重大影响的选择。其中最重要的影响就是承认CH本身是无意义的，而CH也许是我们对不可数集合所能提出的第一个重要问题。([1]，第13页)
这样的立场被称为“形式主义”。与之相对应的立场是“柏拉图主义”，它认为一个集合论语句为真当且仅当它描述了集合宇宙中的一个客观事实。独立性命题产生的原因是我们对客观数学世界的认识不够完备。但这不意味着这些命题本身是没有真假的无意义命题，相反随着对集合宇宙认识的不断深入，我们最终会决定它们的真假。
基于此处采取的立场，从已接受的集合论公理出发，一个有关康托猜想的不可判定性的证明(与一个对的超越性的证明完全不同)决不是问题的解决。.集合论概念和定理描述了一个完全确定的实在，在其中康托猜想一定是或真或假。因此，源于今天已接受公理的对它的不可判定性，只能意味着这些公理没有完备地描述那个实在。这一信念绝非空想，因为有可能指出一些方向，在其中能得到对一些问题的判定，而这些问题对于通常的公理是不可判定的。([4]，第260页)
把所有独立于ZFC的命题都看作无意义的，这种观点有一个困难就是这些命题在认识论地位上不是完全等价的。例如，有人认为CH无意义，因为“任意实数的子集”这个概念模糊不清。但是，几乎不会有人认为“所有投影集都是可决定的(PD)”无意义，因为这其中并不涉及“任意实数子集”的概念，而只是谈论了投影集这样的具体可定义的数学对象。但PD与CH一样，是独立于ZFC的。因此，武丁(H.Woodin)向形式主义提出了如下挑战:
……(形式主义)这种立场要站得住脚，那就或者集合论中类似的不可解问题也必须被看作是无意义的，或者必须解释为什么连续统假设的问题是与那些问题不同的。我指的是那些描述集合论的经典问题，它们在连续统假设提出不久也被提了出来。([8]，第29页)这要求人们进一步仔细分析PD与CH:
定义1.1无穷基数δ是武丁基数当且仅当对任意函数f:δ→δ，存在初等嵌入j:V→M，如果κ=crt(j)，则f[κ]M并且Vj(f)(x)M。我们用
W={δ|δ是武丁基数}
表示全体武丁基数的类。
1985年武丁证明了以下定理:
定理1.2(武丁，1985)如果M是ZFC的传递模型，并且M“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，
VM＜VM[G].
ω+1ω+1
VM＜VM[G]蕴涵着VM和VM[G]
ω+1ω+1ω+1ω+1
初等等价，因此以上定理就表明，如果存在任意大的武丁基数，则任何形如“Vω+1╞σ”这样的句子都不能用(集合)力迫的方法证明其独立性。此时我们称V11的一阶理论Th(V1)是脱殊绝对的。这一结果的意义在于，大基数公理(存在任意大武丁基数)可以给有关Th(V1)的所有问题以确定的回答。又由于PD，乃至经典描述集合论中所有有关投影集的问题都属于Th(V+1)，这也意味着在大基数公理下，它们都有确定的真值，而不再是独立的。特别地，对PD马丁和斯蒂尔(MartinandSteel)证明了:
定理13(马丁、斯蒂尔，1985)如果存在无穷多武丁基数，则PD成立。进而:
推论1.4对任意传递模型M，如果MFC+“W是真类”，则对任意M脱殊滤G，都有M[G]╞PD.
反观CH，列维(Levy)和索洛维(Solovay)1967年证明了:
定理1.5(列维、索洛维，1967)令为任意一条已知的大基数公理，假设M是ZFC的传递模型并且M╞σL，则存在M脱殊滤G和H，M[G]╞σL+CH而M[H]╞σL+┐CH。
比较推论1.4和定理15，我们看到:在PD与CH之间确实存在着带有根本意义的差别。与PD不同，大基数公理对CH的独立性无能为力。这种差别是否可以帮助形式主义回应以上挑战呢
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