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死亡法庭灭霸

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本文常用量级绝对无穷部分构造(补充)

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举个例子: cf (1)=1, cf (任意有限数)=1, cf ( w )= w , cf ( w _1)= w _1(不存在长度是 w 的序列,因为小于 w _1的基数是可数的,但可数个可数集之并(也就是它们的上确界)可数,不可能是 w _1)。 cf ( W _ w )= w (长度 w 的序列取 w , w _1, w _

2,w3,......)。

对于极限序数,有 cf ( a )= cf ( w _ a ),所以对于不可达基数 k , k = w _ k ,但是,这样的奇异不动点非常多。比如说 a 是任意的基数,然后设序数列 w _ a , w _( w _ a ),......设 k 是它们的确界,很显然容易证明 k = w _ k ,但是很遗憾,这基数仍然还是奇异基数,并且它的共尾度是 w 。

好了。以下基数的性质。

0,可数,正规,强极限。1,可数,正规,后继。2,可数,非正规,后继。 w ,可数,正规,强极限。 w _

1,不可数,正规,后继。 w _2,不可数,正规,后继。 w _ w ,不可数,非正规,极限。 w _( w +1),不可数,正规,后继。 w _( w _1),不可数,非正规,极限。阿列夫不动点,不可数,非正规,极限。

很显然,用替代公理模式获取的基数,三个条件都不能同时满足,所以都不是不可达基数。不过,在大于 w 的基数中,正规极限的基数则就是不可达基数。也可以说,从阿列夫零到不可达基数其概念意义上的距离,跟从0到阿列夫零是一样的。

有了替代公理模式,你可以构造类似 omega - fixed - point ={ xEwlf (0)= w , f ( x )= w _ f ( x -1)}的集合,通过更大的 f 就能获取更大的基数。但是,很显然,由替代公理所迭代获取出来的基数,全部都是奇异基数,其 xE 的那个数就是它的共尾度或者是共尾度比这个数还小,哪怕再大,均不符合 cf ( k )= k 的条件。因此不可能抵达不可达基数。

不可达基数本身也是阿列夫数,同时也都是不可达的阿列夫不动点,贝斯不动点,极限基数(因为对于后继基数阿列夫( a +1) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ;=2^阿列夫 a ,不符合强极限的定义)。同时不存在一个( xE ( amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; am p ; lt ; k ) lf ( x ) amp ; amp ; amp ; amp ; a mp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; k )的集合,使得其上确界为 k 。

还可以更抽象的理解不可达基数,假如连续统假设成立。则2^阿列夫零=阿列夫一,2^阿列夫一=阿列夫二......你可以这样迭代下去,你能得到阿列夫(阿列夫(阿列夫一)),阿列夫(阿列夫(阿列夫(阿列夫......))),你所想象到的迭代,无论是多么的变态,你都不可能迭代出不可达基数。因为不可达基数是正则基数,不可能从下至上抵达它。举个例子,有限的数,它们经过任意有限次迭代,都不可能到达无穷大,只能用∞这个符号表示,同样,∞(指小基数),哪怕它们经过任意8次迭代,也不可能到达不可达基数。

你取到 k 之后,那么 k 和2^ k 都是正则的大基数,继续对 k 替代公理模式以及对 k 取幂集,仍然不可达的就是第二个不可达基数。

2.马洛基数

一个无穷基数 k 是马洛基数( Mahlo cardinal )当且仅当 k 是一个不可达基数并且是“正则基数”。

{ A amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是正则基数}是 k 上的平稳集[1]。如果 k 是马洛基数,则是“不可达基数”。

{1 amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; amp ; lt ; kl 入是不可达基数}是 k 上的平稳集,因此 k 是第 k 个不可达基数。

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