“总之，经过不少聪明人的努力，微积分总算有了一个严格的基础，摆脱了逻辑上的含糊和矛盾，走出了第二次数学危机。”
大略地提了提微积分的发展史，李恒将话题转到了重点上。
“微积分的完善建立在极限思想的基础上，明确了微积分在计算过程中使用的都是不为0的变量。”
“这让整个微积分的计算摆脱了麻烦的无穷大和无穷小，回归到了人类能处理的有限范围内。”
“实数域因此也是最大的阿基米德有序域，给出任何数，总能够挑选出一个整数大于该数，也就是不包括无穷大量和无穷小量。”
“实数的定义域(-∞，＋∞)，这个表示无穷的符号也就再次回归到了亚里士多德的潜无穷的概念，人类的智慧似乎再一次在无穷面前败退了。”
“但，潜无穷和实无穷的概念本就是相互交织的。”
“完善了理论基础的微积分摆脱了麻烦的实无穷，但总有人对真实的无穷的性质感到好奇。”
“毕竟微积分的基础就是连续性，而无理数就是数轴连续性的来源，没有实无穷，只剩下有理数的微积分也不可能存在。”
“微积分基础的严格化解决了很多问题，但也带来了很多新的问题。”
“最关键的就是，需要一个无理数的基本定义，这些无理数构成的数轴具备连续性。”
万物皆数，在直观的几何上从离散到连续的转变，就是从有理数到实数的转变。
魏尔斯特拉斯，戴德金，还有康托尔，这三人各自完成了对实数的基本定义。
其中容易理解的是戴德金的定义。
李恒面前再一次漂浮起那条用白色粉笔画成的数轴，只不过这一次上面的数字变成了各种奇奇怪怪的符号。
“点动成线，数轴上的无穷个点密密麻麻地填满了所有的空隙，没有丝毫的漏洞。”
“这是连续性最直观的一点，但从这种稠密性的视角去理解数轴的连续性已经宣告破产。”
“任意两个有理数之间都存在第三个有理数，但它们并不连续，每一个有理数还被密密麻麻的无理数所包围。”
“连续性显然不是根源于任何种类的致密性，用这种想法去思考数轴连续性的根源是一无所获的。”
“思考数轴连续性最好的方法是从数轴的有序性和相继性入手。”
“也就是在数轴上，每一个点的左边是一个更小的点，右边是一个更大的点。”
李恒抬起手掌，一记朴实无华的手刀砍在面前的白色数轴上，激荡起一阵金属碰撞般的火花，让整个世界都剧烈地颤动了起来。
天上那闪耀着无尽光无尽热的大火球也在这一刻微微暗淡了下去，争吵了不知多久的两个数学家将目光投向了此处。
他们感觉到，这个隐藏在有理数的缝隙中，无限可分的无穷小世界，真的被找到了那个不可分割的最小基本元素。
“从数轴的可分性去理解连续性，这就是我们两个一路上在做的事情。”
“切割整数，切割有理数，切到不可再分的那一点，找到能精确地将数轴分割成左右两部分的那个点所代表的数。”
“在这个数左边的所有数都小于这个数，在这个数右边的所有数都大于这个数。”
这就是戴德金分割。
如果直线上的所有点都落入两个集合，第一个集合中的所有点都位于第二个集合的所有点的左边。
那么就存在唯一的一个点把所有的点划分成两类，从而把直线分割成两部分。
于是，通过定义集合A和B的成员和边界，就可以准确定义这点的值，数轴上真正不可再分的基本元素。
用数轴上位于左侧和右侧的两个互斥集合来定义一个点的数值，这就是戴德金分割的思想。
在之前的旅程里，一旦离开了处处均匀的整数世界，两人就沦陷在了有理数和无理数的稠密性中。
他们不得不面对那些包含着无穷个元素、但却看起来同样都是无穷小的区间。
归根结底，这些看起来无穷小的有理数缝隙，依旧还不是一个没有大小的点。
虽然它看起来在数轴上占据的长度是零，但这里却藏着无数个无理数，构成了这片有牛顿、莱布尼茨、贝克莱主教的复杂世界。
“因为无理数的定义还不清晰，我们只知道无理数的某些实例，而不知道所有无理数的状况。”
“因此我们这里能用来作为分割标准的只有定义清晰的有理数，”
“一刀将数轴分割成两个部分，将会得到几个不同的结果。”
“第一，左边的A集合有最大元素，右边的B集合没有最小元素。”
“这就说明这一刀砍在了数轴上的某一个有理数p/q所代表的点上，并且这个点位于左集A之中。”
“如此数轴就被分成了两部分，比如(-∞，2】，(2，＋∞)。”
“数轴上的每一个点都是唯一的，一个点在左集A中，就不可能在右集B中。”
本小章还未完，请点击下一页继续阅读后面精彩内容！
喜欢触手怪的宇宙之旅请大家收藏：(m.20xs.org)触手怪的宇宙之旅20小说网更新速度全网最快。