触手怪的宇宙之旅

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第733章 追不上的乌龟

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究竟如何才能从没有长度的点跨越到有长度的线段,这一过程并不清晰明了。

如果,在戴德金分割的基础上更进一步。

既然可以用有理数作为刀刃去切割直线,那为什么不能用实数作为刀刃切割直线?

心中的想法渐渐成型,阿基里斯看向眼前白色数轴上数字1所在的位置。

“如果允许不为0的实无穷小存在,数轴上就有无数条长度比任何实数都小,却依旧不为0的线段。”

“每一个无理数都是一个已完成的实无限序列,但是,这些无理数之间依旧还藏着空隙。”

“阿基里斯即使走过了无限步,它也依旧追不上那只芝诺的乌龟!”

抬起的手掌终于斩下,目标正是数轴上的1。

存在实无穷小,那么0.99…≠1。

两者之间还有一条小于任何实数,却依旧长度不为0的实无穷小线段。

正是这些仿佛没有大小的点的线段填补了实数之间的空隙,就像无理数填补有理数之间的空隙一样。

这些实无穷小线段就是超实数所在的地方!

哐当!

耀眼的火花在眼前亮起,阿基里斯的手掌上传来一阵剧烈的疼痛感,让她低低惊叫了一声。

“哎呀?!”

她想的应该没问题的啊。

眼前的白色数轴完好无损,完全不像是之前在李恒手上时那样,轻轻松松地就被他扯成了两段。

李恒再次用一脸看傻子的表情看着她,嘴角带着些许笑意道:

“虽然比以前聪明了一些,但果然还是个小呆瓜。”

“忘了我们之前是怎么抵达牛顿和莱布尼茨所在的无理数世界的么?”

阿基里斯眼神茫然了一瞬,紧接着脸颊微微泛红,不太好意思地略微偏过了脑袋。

“嘿嘿,我不小心忘了。”

没办法,她在这个混沌不可知的世界里数了亿万个纪元的数字,很多细节都混在那些枯燥无味的记忆里了。

现在想起来了,她当时是用胸前挂着的这台芝诺机杀死了毕达哥拉斯,破开了看不到尽头的无穷小世界,找到了隐藏在有理数之间的无理数。

更准确的说法是,潜无穷小世界。

芝诺机是超图灵机,具备可数无限?0的力量,有理数则是两个有限大的整数之比,找到潜无穷小世界自然不在话下。

但超实数却是存在于两个实数之间。

每一个实数都是一个已完成的无穷序列,是可数无限?0级别的力量。

以此类推,想要找到实数之间的空隙,去往超实数所在的实无穷小世界,至少需要更高一个层次的力量,也就是不可数无限?1级别的力量。

生灵只能窥探到比自己高一个层次的世界,如果隔着两个无限的层次,那里就是不可知不可论的世界。

没有能够付诸实践的力量,就只能被禁锢在原来的世界。

“超实数域有三个组成部分。

无穷小δ,ε,它的绝对值比任何实数都要小。

有限数,它就是实数,任何给定的实数都是有限大。

无限大数,ω,这里ε=1/ω,它比任何实数都要大。”

“引入了无限大数和无穷小数之后,在超实数域中,0.99…和1表示的不是数轴上的同一个数。”

“两者之间还存在着无穷多个与它们相差一个无穷小量的超实数,类似于1-ε,1-ε^2等等。”

“但这些无限大数和无限小数只是最基础的部分。”

“之前我们在康托尔的精神病院里都能用幂集公理从?0开始一路向上无限跳跃,你不会觉得只是用实数切割一次数轴就到尽头了吧?”

啊,早就该猜到的了。

阿基里斯对此毫不意外,这可没有什么事不过三的说法。

既然能切割一次、两次,那自然就可以继续切割无数次。

从点到线,从离散到连续,从静止到运动。

两者之间的差距远比她最初以为的还要大得多。

在这个世界里,连续统的基数远不只是?1或者?2。

不过,这样正好,越远越好。

真理无穷,如果他们两个的研究也永远不会走到尽头就好了。

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